The Physics
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Opus in profectus

RC Circuits

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Discussion

charging

discharging

Start with Kirchhoff's circuit law.

V = IR +  q
C
0 = IR +  q
C

Turn it into a first order differential equation.

V =  dq  R +  q
dt C
0 =  dq  R +  q
dt C

Rearrange into a form suitable for the separation of variables procedure.

− RC  dq  = q − CV
dt
 
dq  = −  dt
q − CV RC
− RC  dq  = q
dt
 
dq  = −  dt
q RC

Integrate over the appropriate limits.

q


0
t


0
dq    = −  dt
q − CV RC
ln
q − CV
 = −    t
− CV RC
q


Q0
t


0
dq    = −  dt
q RC
ln
q
 = −    t
Q0 RC

Eliminate the logarithm.

q − CV  = − et/RC
− CV
q  =  et/RC
Q0

Solve for charge as a function of time.

q = CV
1 − et/RC
q = Q0et/RC  
 

Take the first derivative of charge to get the current.

I =  dq  =  d  
CV
1 − et/RC ⎞⎤
⎠⎦
dt dt
I =  dq  =  d  Q0et/RC
dt dt

And here it is.

I = +  V  et/RC
R
I = −  Q0  et/RC
RC