RC Circuits

Discussion

charging

discharging

Start with Kirchhoff's circuit law.

V = IR +  q
C
0 = IR +  q
C

Turn it into a first order differential equation.

V =  dq  R +  q
dt C
0 =  dq  R +  q
dt C

Rearrange into a form suitable for the separation of variables procedure.

− RC  dq  = q − CV
dt
     
dq  = −  dt
q − CV RC
− RC  dq  = q
dt
     
  dq  = −  dt
  q RC

Integrate over the appropriate limits.

  q   t  

dq    = − 
dt
q − CV RC
0 0
ln
q − CV
 = −    t
− CV RC
  q   t  

dq    = − 
dt
q RC
Q0 0
ln
q
 = −    t
Q0 RC

Eliminate the logarithm.

q − CV  = −
 e t/RC  
 
− CV
q  = 
 e t/RC  
 
Q0

Solve for charge as a function of time.

q = CV
1 −
 e t/RC  
 

q = Q0
 e t/RC  
 

Take the first derivative of charge to get the current.

I =  dq  =  d  
CV
1 −
 e t/RC  
 
⎞⎤
⎠⎦
dt dt
I =  dq  =  d  Q0
 e t/RC  
 
dt dt

As here it is.

I = +  V
 e t/RC  
 
R
I = −  Q0
 e t/RC  
 
RC